ベクトル解析 山上 滋 2009 年7 月9 日 目次 1 座標と成分 2 2 曲線のパラメータ表示 2 3 勾配ベクトル 6 4 ベクトル場と流線 9 5 線積分 14 6 グリーンの定理 18 7 ベクトルの外積と行列式 23 8 勾配ベクトルと等位面 25 9 曲面のパラメータ表示 26 10.ベクトルの線積分 11.スカラーの面積分 12.ベクトルの面積分 Today’s Point Chap.10 ベクトルの線積分 ³ C A dr ³ u C A d r Chap. 9 スカラーの線積分 b ( ), ( ), ( ) aC ³³MMx t y t z t dt dt x y z C 3 9. スカラーの線積分 曲線Cに沿って 1 力学と微積分・ベクトル 力学で用いる高校数学をまとめる。1 微分・速さ・加速度 x(t) tt+Dt x(t+Dt) 関数x(t)の微分（一階微分）を x′(t) ≡ dx(t) dt ≡ lim ∆t→0 x(t+∆t)−x(t) ∆t (1) で定義する。ここで、記号「≡」は「定義式」を表す。 x′(t)は、幾何学的には、曲線x(t)の点tにおける接線の傾きで 39 第3章 ベクトルの積分 力学で曲線に沿って物体を動かす際の仕事を計算するときに，動いた道筋に沿って 力と変位の積を足し合わせる積分が登場した．電磁気学では電場や磁場と変位の積を 足し合わせる線積分が登場する．これらについて学習しよう．
10.ベクトルの線積分 11.スカラーの面積分 12.ベクトルの面積分 Today’s Point Chap.10 ベクトルの線積分 ³ C A dr ³ u C A d r Chap. 9 スカラーの線積分 b ( ), ( ), ( ) aC ³³MMx t y t z t dt dt x y z C 3 9. スカラーの線積分 曲線Cに沿って
2018/01/08 4 章ベクトル解析 （執筆者：高橋大輔）[2009 年9 月受領] 概要 ベクトル解析は，多次元空間内のベクトルで表される量についての微積分学である．空間・ 平面における曲線や曲面は多次元空間で定義される対象であり，位置ベクトル 2020/05/27 1 導入 3 De nition 1.3 (全微分).Rn の開集合U 上の関数f に対し，微分1 形式 @f @x1 dx1 +···+ @f @xn dxn をf の全微分と呼び，df と書き表す． この表記を用いて先ほどみた結果を書き直しておこう． Theorem 1.4 (微積分学の基本定理の類似). ベクトル解析演習 本ページの資料は私 (金丸) が 2007年度～2011 年度に工学院大学にて行った講議「数学演習III」および「数学演習IV」のうち、ベクトル解析に関する内容の配布資料を公開したものです。
「幾何学〈3〉微分形式：坪井俊」先月この教科書の第2章「ドラーム・コホモロジー」のあたりで理解不能に陥り、やむなく中断。きっとこれはトポロジー（位相幾何学）（のホモロジー理論のあたり）を理解していないからに違いないと思い、何冊かトポロジーの本へ寄り道してからの再挑戦。
電磁気学に用いるベクトル公式集 1. スカラー，ベクトル，テンソル 直角座標(x1,x2,x3) から(x1,x 2,x 3) への，原点を不動点とする座標回転（直交変換）を x l = i U li x i,x i = l (U−1)il x l （ l は 3 l=1 の省略形。以下同様） (1) とする。U˜ をU の転置行列として，係数 … 「ベクトル場の微積分」 これが一番安直な答だが、これだけだと中身が見えない。2. 「曲がっているもの(曲線や曲面) の上での微積分」 (a) 曲線上の積分である線積分 ∫ C f dr (b) 曲面上の積分である面積分 ∫ S f nd˙ に関わる微積分で3. 2019/07/23 3 微積分 3.1 連続性 連続の条件 関数f (x) がx = a で連続ならば、 8ε > 0, 9δ > 0, jx aj > δ ! jf (x) f (a)j < ε 任意のε について、あるδ を考えれば、a δ < x < a+δ の範囲でf (a) とf (x) の差はε 以下である。 一様連続: 8a 2 M (M に属する全ての点) について連続 問題①あるベクトルに対して、次に示す範囲においての定積分を実行してみましょう。問題②あるベクトル関数、が、を満たすときのを求めてみましょう。問題③とします。次に示すベクトル三重積の積分を計算してみましょう。 2020/03/21 いよいよ，微分形式と呼ばれる量を導入します．こんなものを使って何が嬉しいのかということは，次の 面積素と微分形式 以降の記事で徐々に明らかにするとこにして，この記事ではまず定義を与え，少し先走って幾つか重要な点に概略的に触れることにします．（この段階で全て理解しなく
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4 章ベクトル解析 （執筆者：高橋大輔）[2009 年9 月受領] 概要 ベクトル解析は，多次元空間内のベクトルで表される量についての微積分学である．空間・ 平面における曲線や曲面は多次元空間で定義される対象であり，位置ベクトル 2020/05/27 1 導入 3 De nition 1.3 (全微分).Rn の開集合U 上の関数f に対し，微分1 形式 @f @x1 dx1 +···+ @f @xn dxn をf の全微分と呼び，df と書き表す． この表記を用いて先ほどみた結果を書き直しておこう． Theorem 1.4 (微積分学の基本定理の類似). ベクトル解析演習 本ページの資料は私 (金丸) が 2007年度～2011 年度に工学院大学にて行った講議「数学演習III」および「数学演習IV」のうち、ベクトル解析に関する内容の配布資料を公開したものです。
微分形式の積分について 安部哲哉 2017 年1 月31 日 このノートでは、微分形式を定義した後、微分形式の積分について述べる。読みにくい 部分に関しては「tetsuyaabe2010@gmail.com」に問い合わせてください。 1 双対空間について（復習） 69 第8 章 ベクトルの掛け算, ベクトルの積分, 偏微分 これまでのいくつかの章で, 力F が具体的に与えられたとき, 運動方程式を座標系の各 成分に分解して積分を実行し, 質点の時々刻々の位置や速度を求めてきた. 引き続く章で は力F が具体的に与えられていない一般的な状況で, 運動方程式を 4 第1章 基礎事項 を満たすベクトルの組e1, e2, e3 を正規直交基底という. このとき, (1.17) における基底ベクトルei の係数ai をベクトルaのこの基底に関する第i 成分という. ベクトルの成分をもちいるとベクトルの長さは |a| = a2 1 +a2 2 +a2 3 (1.19)
A-1 簡単な微積分の公式 老婆心ながら，プリントに登場する初歩的な微積分の公式をまとめておく。1.1 微分公式 まず，簡単な関数の微分公式をまとめる。微分はダッシュ記号で表すものとする。つまりdf(x)/dx= f′(x) = f′ である。 (A-1.1) f(x) = c (定数), f′(x) = 0
量子力学I 2 8 箱の中の粒子 47 8.1 波動関数の連続性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.1. ベクトルとテンソル（吉田）v2.1 2012/03/28 1.1.1. ベクトルとは何だろうか？～ベクトルが備えているべき性質 図1.1: 問題：ベクトルに対する座標の回転 のように変換されるものとする。回転は合同変換だから、内積（この講義では後の1.1.3.1 節で出てくるが、皆さん既知とし 積分可能条件という理由は，後で第1，2基本形式より偏微分方程式を解くことにより曲 面を求めるのですが，偏微分が解けるための条件が③，④であることが示されます．偏微 分方程式が解けるための条件を積分可能条件といいます． こうして計算した量を、ベクトル関数 \(\bold{F}\) の面積分といいます。 ベクトル関数を面積分するというのは、ベクトルそのものを何か足し合わせていくような操作をするわけではなくて、 法線成分を取り出して作るスカラー量の面積分 (足し算) をする、ということなのです。 2006/10/11 2014/04/30 ベクトル三重積 ベクトルの微分積分 ベクトルの微分 ベクトルの積分 スカラー場、ベクトル場 スカラー場：その数学的取扱い ベクトル場の発散 ベクトル場の回転（ローテーション） 補遺 その他重要な性質 電磁気学への応用 マテマテカによる